PID Control
PID Control
一、适用系统
二阶以内线性系统
二、控制系统概述
1. 开环控制系统
本质：没有眼睛的控制器。
控制器发出指令，系统照做，但不会根据实际结果修正。
优点：简单、快
缺点：不抗扰、不自适应
典型例子：微波炉按 30 秒就 30 秒，不会因为食物没热透自动再来一轮。
2. 前馈控制系统
本质：提前补偿扰动。
它根据已知模型，把扰动“抵消”掉，让输出不被影响。
优点：快、超前
缺点：模型错了就全错
常出现在机械臂、飞控里，比如提前补偿重力。
3. 单闭环控制系统
本质：系统终于安装了眼睛。
控制器根据误差修正指令，有抗扰能力。
缺点：慢于前馈，有滞后
优点：鲁棒、可靠
这是 PID 最经典的应用场景。
4. 双闭环控制系统
典型结构：外环调慢变量，内环调快变量。
比如伺服系统：位置环外 → 速度环内。
优势：提高整体动态性能
双环能让系统像“加了大脑和小脑”，一个掌方向，一个掌姿态。
5. 前馈-反馈复合控制系统
喻为“预测 + 修正”双保险。
前馈负责提前补偿，反馈负责兜底。
在工业控制里非常常见，如电机抗负载扰动场景。
三、PID公式抽象
1. 定义：
$$
C = \frac{1}{P}\left( e + \frac{1}{T_i}\int_0^t e,dt + T_d \frac{de}{dt} \right)
$$
2. 连续：
$$
C = k_p e + k_i \int_0^t e,dt + k_d \frac{de}{dt}
$$
3. 离散：
$$
C = k_p e_i + k_i \sum_{i=1}^{N} e_i + k_d \frac{e_i - e_{i-1}}{\Delta t}
$$
进一步抽象：
$$
C = k_p e_i + k_i \sum_{i=1}^{N} e_i + k_d (e_i - e_{i-1})
$$
四、位置式&增量式
1. 位置式PID
位置式的思想是：
**每次计算输出的绝对值 $C_i$**，包含了全部历史贡献。
（1）工程表达：
$$
C_i = k_p e_i+ k_i \sum_{j=1}^{i} e_j+ k_d (e_i - e_{i-1})
$$
（2）特点
由于$Ii= \sum e_j$，历史误差全部累积，因此C 是绝对量：$C_i \quad \text{依赖于全部 } e_1, e_2, \dots, e_i$
所以：
- 容易积累大量积分 → 有饱和风险
- 执行器输出容易出现大跳变
- 工程中常需要加积分限幅
2. 增量式PID
增量式的思想是：
**不直接算输出，而是算输出的变化量 $\Delta C_i$**。
（1）工程表达：
$$
\Delta C(t) = C(t) - C(t - \Delta t)
$$
代入展开：
$$
\Delta C_i =k_p (e_i - e_{i-1})+ k_i e_i+ k_d (e_i - 2 e_{i-1} + e_{i-2})
$$
累加得到最终输出：
$$
C_i = C_{i-1} + \Delta C_i
$$
五、其余相关控制知识
1.积分限幅
问题来源：当执行机构饱和时，积分项还在疯狂增长，系统恢复后会“鬼畜式反弹”。
解决方法：对积分项做限制：
if (I > Imax) I = Imax;
if (I < Imin) I = Imin;
2. 积分分离
思想：误差大时，不让积分项掺和，免得越修越乱。
例如：
if (|err| < threshold) {
I += ki * err;
}
作用：避免大误差阶段的剧烈振荡
伺服定位系统最常见：大步跑用 P，小步走用 PI。
3. 微分先行
传统微分对误差求导：$D = k_d \frac{de}{dt}$
问题：误差的突变（如目标阶跃变化）会导致 D 项瞬间炸裂。
解决：改成对输出 y 微分而不是对误差微分：$D = -k_d \frac{dy}{dt}$
这让系统对目标阶跃更友好，减少一次“甩尾现象”。
4. 低通滤波的微分
微分对噪声极其敏感，所以常做成：
$D_i = \frac{N k_d}{1 + N \Delta t}
\left(
D_{i-1} + \Delta t (e_i - e_{i-1})
\right)$
类似于给 D 项加了 RC 滤波器，效果柔和很多。
5. 死区控制
为了避免小误差抖动，可以设置：
if (|err| < dz) output = 0;
